[8º Ano] Exercícios: Propriedades das potências e Notação científica

Operações Algébricas: Potenciação

Aplique as propriedades das potências e regras de notação científica para resolver as questões.

1 Cálculo Básico

Qual é o resultado da potência abaixo?

\( (-\frac{2}{5})^{2} \)

Resolução: Conforme as resoluções do material, \( (-\frac{2}{5})^{2} = (-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \).

2 Regras de Notação

Para que um número esteja escrito corretamente em notação científica, qual regra deve ser aplicada ao coeficiente (o número que multiplica a potência de base 10)?

Resolução: Em notação científica, o coeficiente deve ser um número maior ou igual a 1 e menor que 10.

3 Substituição Algébrica

Qual é o valor numérico da expressão algébrica abaixo para \( x = -1 \)?

\( x^{3} - x^{2} - x + 1 \)

Resolução: Substituindo na expressão, temos: \( (-1)^{3} - (-1)^{2} - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0 \).

4 Notação Científica na Prática

Como se escreve o número 295.000.000.000 de forma correta em notação científica?

Resolução: Deslocando a vírgula 11 casas para a esquerda, encontramos a notação correta: \( 2,95 \cdot 10^{11} \).

5 Casos Especiais

Qual é o resultado de qualquer base não nula elevada ao expoente zero, como no caso da expressão \( (-10)^{0} \)?

Resolução: Por definição, qualquer número real (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.

6 Operações com Notação

Qual é o resultado exato da multiplicação de notações científicas abaixo?

\( (1,25 \cdot 10^{4}) \cdot (6 \cdot 10^{8}) \)

Resolução: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes: \( (1,25 \cdot 6) \cdot (10^{4} \cdot 10^{8}) = 7,5 \cdot 10^{12} \).

7 Expressão Numérica

Calcule o valor final da seguinte expressão numérica:

\( 3^{2} - 2^{3} + (\frac{1}{2})^{0} \)

Resolução: Resolvendo cada termo separadamente: \( 9 - 8 + 1 = 2 \).

8 Propriedades - Divisão

Ao aplicar a propriedade de divisão de potências de mesma base, o que deve ser feito matematicamente?

Resolução: Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes (ex: \( 10^{8} \div 10^{5} = 10^{8-5} = 10^{3} \)).

9 Expoentes Iguais

Ao simplificar a expressão de divisão \( 250^{4} \div 125^{4} \), qual será o resultado final em forma de potência simples?

Resolução: A propriedade permite dividir as bases e conservar o expoente comum: \( (250 \div 125)^{4} = 2^{4} \).

10 Problema Contextualizado

Um carro sofre uma desvalorização anual constante. A cada ano, seu valor é multiplicado por 0,8. Se hoje ele vale R$ 60.000,00, qual será o seu valor daqui a 3 anos?

Resolução: A expressão correta para o cálculo é \( 60.000 \cdot (0,8)^{3} \). Calculando, temos: \( 60.000 \cdot 0,512 = 30.720 \).

11 Expoente Negativo

Como devemos proceder para calcular uma potência com expoente negativo, a exemplo de \( (\frac{3}{4})^{-3} \)?

Resolução: Inverte-se a base e o expoente torna-se positivo, ficando \( (\frac{4}{3})^{3} = \frac{64}{27} \).

12 Crescimento Exponencial

Sabendo que a medida de volume de uma cultura de bactérias dobra a cada hora, se o volume inicial era de \( 1 cm^{3} \), qual será a expressão correspondente ao volume após 10 horas?

Resolução: A cada hora o volume é multiplicado por 2. Após 10 horas, a medida será de \( 2^{10} \cdot 1 cm^{3} = 2^{10} cm^{3} \).

13 Conversão Decimal

Converta o número decimal 0,000012 perfeitamente para notação científica.

Resolução: A vírgula desloca-se 5 casas decimais para a direita, resultando no expoente negativo: \( 1,2 \cdot 10^{-5} \).

14 Potência de Potência

Qual propriedade de potenciação deve ser aplicada para resolver uma potência de potência, como na expressão \( (2^{2})^{3} \)?

Resolução: A regra dita que os expoentes são multiplicados: \( 2^{2 \cdot 3} = 2^{6} \).

15 Simplificação Múltipla

Utilizando as propriedades corretas, a simplificação da expressão \( 9,8^{2} \cdot 9,8^{3} \cdot 9,8^{-1} \) resulta em:

Resolução: Conserva-se a base e somam-se os expoentes algebricamente: \( 9,8^{2+3+(-1)} = 9,8^{4} \).

16 Forma Fracionária

Qual é a forma fracionária correta que representa o resultado da operação \( 10^{-2} \)?

Resolução: A expressão com expoente negativo inverte a base: \( (\frac{1}{10})^{2} = \frac{1}{100} \).

17 Base Negativa

O que acontece com o resultado final ao elevarmos uma base negativa a um expoente ímpar, como na expressão \( (-1)^{5} \)?

Resolução: Multiplicando um número negativo uma quantidade ímpar de vezes, o sinal negativo é conservado: \( (-1)^{5} = -1 \).

18 Números Grandes

Como podemos expressar o número exato de 700.000 no formato de notação científica?

Resolução: O valor transformado corretamente movendo a vírgula 5 casas é \( 7 \cdot 10^{5} \).

19 Potência Única

Qual será o resultado da operação abaixo, escrito em forma de potência única?

\( (-0,5)^{5} \div (-0,5)^{2} \)

Resolução: Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes e a base é conservada: \( (-0,5)^{5-2} = (-0,5)^{3} \).

20 Distribuição de Expoentes

Distribuindo os expoentes adequadamente, como se simplifica a expressão algébrica \( (\frac{a}{2})^{3} \)?

Resolução: A potência é aplicada tanto no numerador quanto no denominador, resultando em \( \frac{a^{3}}{2^{3}} = \frac{a^{3}}{8} \).