[9º Ano] Exercícios: Equações Biquadradas
Desafio Algébrico: Equações Biquadradas
Substitua as variáveis e domine a matemática de 4º grau aplicada a projetos reais!
1 Feira de Ciências
Na organização da Feira de Ciências, o número de stands da equipe de Física e da equipe de Biologia corresponde às raízes reais positivas da equação abaixo. Quantos stands cada equipe terá?
\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \)
Resolução: Substituindo \(x^2 = y\), temos \(y^2 - 13y + 36 = 0\). As raízes são \(y=4\) e \(y=9\). Extraindo a raiz quadrada para voltar a x (\(x = \pm\sqrt{y}\)), encontramos as raízes positivas 2 e 3.
2 Design de Aplicativo
O desenvolvedor configurou as margens da tela do aplicativo usando as raízes positivas desta equação biquadrada. Quais são as medidas dessas margens em milímetros?
\( x^4 - 17x^2 + 16 = 0 \)
Resolução: Fazendo \(x^2 = y\), resulta em \(y^2 - 17y + 16 = 0\). As raízes são \(y=1\) e \(y=16\). Logo, as raízes reais de x são \(\pm1\) e \(\pm4\). As opções positivas são 1 e 4.
3 Campeonato de Xadrez
Em um torneio escolar de xadrez, o relógio de cada jogador ganha tempos bônus equivalentes às soluções positivas da equação a seguir. Quantos minutos de bônus eles recebem?
\( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)
Resolução: Com \(y = x^2\), resolvemos \(y^2 - 5y + 4 = 0\), que nos dá \(y=1\) e \(y=4\). Tirando as raízes para achar x, ficamos com os valores positivos 1 e 2.
4 Clube de Robótica
O sensor de movimento do robô foi calibrado nas distâncias exatas indicadas pelas raízes positivas da equação biquadrada abaixo. Quais são essas distâncias (em metros)?
\( x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \)
Resolução: \(y^2 - 25y + 144 = 0\). As raízes são \(y=9\) e \(y=16\). Voltando para x, as medidas positivas são \(\sqrt{9} = 3\) e \(\sqrt{16} = 4\).
5 Geometria do Jardim
A largura e o comprimento de um jardim retangular da escola equivalem às raízes reais positivas desta equação. Quais são as dimensões do jardim?
\( x^4 - 34x^2 + 225 = 0 \)
Resolução: Substituindo, a equação \(y^2 - 34y + 225 = 0\) gera \(y=9\) e \(y=25\). As raízes positivas de x são 3 e 5.
6 Banner Esportivo
Para as Olimpíadas Escolares, as dimensões (em metros) do banner de abertura são calculadas resolvendo a equação biquadrada a seguir. Quais são as medidas válidas (positivas)?
\( x^4 - 29x^2 + 100 = 0 \)
Resolução: Com \(y^2 - 29y + 100 = 0\), encontramos \(y=4\) e \(y=25\). Como lidamos com medidas físicas, as dimensões de x são 2 e 5.
7 Projeto de Botânica
Os meses de maior floração do projeto de ciências acontecem nos valores positivos indicados pela equação. Em quais meses isso ocorre?
\( x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \)
Resolução: Resolvendo \(y^2 - 10y + 9 = 0\), achamos \(y=1\) e \(y=9\). Extraindo a raiz quadrada, os valores positivos (meses do ano) são 1 e 3.
8 Autonomia de Voo
Os tempos limites de autonomia de um drone em minutos são representados pelas soluções positivas desta equação de consumo. Quais são os tempos?
\( x^4 - 41x^2 + 400 = 0 \)
Resolução: O sistema \(y^2 - 41y + 400 = 0\) resulta em \(y=16\) e \(y=25\). As raízes positivas para o tempo (x) são 4 e 5.
9 Taxa de Transferência
O tráfego de dados da escola tem taxas estáveis representadas pelas raízes positivas da equação biquadrada. Encontre os valores em Megabytes:
\( x^4 - 37x^2 + 36 = 0 \)
Resolução: Após a substituição, as raízes de \(y^2 - 37y + 36 = 0\) são 1 e 36. Assim, as taxas positivas para x são 1 e 6.
10 Placar de Vôlei
Durante o treino, as pontuações perfeitas de bloqueio seguiram um padrão numérico igual às raízes positivas da equação abaixo. Quais foram as pontuações?
\( x^4 - 40x^2 + 144 = 0 \)
Resolução: O cálculo de \(y^2 - 40y + 144 = 0\) aponta \(y=4\) e \(y=36\). As raízes positivas finais são 2 e 6.
11 Senha do Refeitório
Para liberar a catraca do refeitório, o sistema pede que o aluno calcule a soma das duas raízes reais positivas da equação biquadrada a seguir. Qual é a senha?
\( x^4 - 50x^2 + 49 = 0 \)
Resolução: Encontramos \(y=1\) e \(y=49\), o que nos dá as raízes positivas de x como 1 e 7. A soma pedida é \(1 + 7 = 8\).
12 Laboratório de Química
Para estabilizar a reação, você deve encontrar o produto (multiplicação) das duas raízes reais positivas desta equação. Qual é o valor resultante?
\( x^4 - 45x^2 + 324 = 0 \)
Resolução: As raízes de \(y^2 - 45y + 324 = 0\) são \(y=9\) e \(y=36\). Logo, os valores positivos de x são 3 e 6. O produto é \(3 \times 6 = 18\).
13 Calibração 3D
A impressora 3D calibra seu eixo Z verificando a diferença (subtração da maior pela menor) das raízes positivas da equação abaixo. Qual é essa diferença?
\( x^4 - 52x^2 + 576 = 0 \)
Resolução: Achamos \(y=16\) e \(y=36\), o que rende as raízes de x iguais a 4 e 6. A diferença pedida é \(6 - 4 = 2\).
14 Debate Estudantil
Os grupos sorteados para o debate possuem quantidade de membros iguais às soluções positivas da equação a seguir. Quantos alunos há em cada um desses grupos?
\( x^4 - 61x^2 + 900 = 0 \)
Resolução: A substituição leva a \(y=25\) e \(y=36\). Calculando as raízes quadradas, as equipes têm 5 e 6 alunos.
15 Competição de Natação
As raias designadas para os nadadores finalistas da escola são identificadas pelas raízes positivas desta equação de controle. Quais são as raias?
\( x^4 - 53x^2 + 196 = 0 \)
Resolução: O cálculo de \(y^2 - 53y + 196 = 0\) resulta em \(y=4\) e \(y=49\). Os valores finais positivos são 2 e 7.
16 Orçamento do Grêmio
O Grêmio Estudantil dividiu seu fundo de arrecadação em duas contas principais, cujos multiplicadores são as raízes positivas desta equação. Quais são eles?
\( x^4 - 58x^2 + 441 = 0 \)
Resolução: Encontrando as raízes de \(y^2 - 58y + 441 = 0\), temos \(y=9\) e \(y=49\). A raiz quadrada aponta multiplicadores 3 e 7.
17 Astronomia Simulada
No projeto do sistema solar, as distâncias orbitais de dois asteroides foram programadas usando as raízes positivas da equação abaixo. Descubra os valores:
\( x^4 - 65x^2 + 784 = 0 \)
Resolução: A substituição revela \(y=16\) e \(y=49\). Como a distância orbital é positiva, utilizamos 4 e 7.
18 Reciclagem de Eletrônicos
A quantidade de caixas de baterias recicladas por turma é dada pelas soluções estritamente positivas desta equação. Quantas caixas foram coletadas?
\( x^4 - 74x^2 + 1225 = 0 \)
Resolução: Resolvendo para y, temos \(y=25\) e \(y=49\). As quantidades coletadas devem ser positivas, resultando em 5 e 7.
19 Excursão da Turma
O trajeto da excursão escolar tem duas paradas programadas. As distâncias em quilômetros equivalem às raízes positivas desta equação de rota:
\( x^4 - 85x^2 + 1764 = 0 \)
Resolução: O cálculo de \(y^2 - 85y + 1764 = 0\) resulta em \(y=36\) e \(y=49\). Os valores de distância exata de x são 6 e 7 km.
20 Teste Teórico
Uma equação biquadrada incompleta ocorre quando o coeficiente "c" é nulo, como no modelo matemático abaixo. Resolvendo-a, quantas raízes reais distintas ela possui?
\( x^4 - 16x^2 = 0 \)
Resolução: Fatorando a equação temos: \(x^2(x^2 - 16) = 0\). As raízes são \(x = 0\) (raiz dupla contada como uma distinta), \(x = 4\) e \(x = -4\). Totalizando 3 raízes distintas reais.