[9º Ano] Equações Biquadradas - Explicação

Como Resolver Equações Biquadradas

O método da mudança de variável passo a passo

O que é uma Equação Biquadrada?

Uma equação biquadrada é uma equação do 4º grau que possui uma característica especial: ela não tem os termos com expoentes ímpares (ou seja, não tem \(x^3\) nem \(x^1\)). O formato geral dela é:

\[ax^4 + bx^2 + c = 0\]

(Onde \(a \neq 0\))

O grande segredo para resolver esse tipo de equação é usar um "disfarce" matemático para transformá-la em uma equação do 2º grau que já sabemos resolver.

1. O Truque: Mudança de Variável

Como \(x^4\) é o mesmo que \((x^2)^2\), podemos reescrever a equação original assim:

\[a(x^2)^2 + b(x^2) + c = 0\]

Agora, fazemos a mudança de variável. Vamos chamar \(x^2\) de uma nova letra, por exemplo, \(y\):

\[x^2 = y\]

Ao substituir \(x^2\) por \(y\), nossa equação de 4º grau se transforma magicamente em uma equação de 2º grau:

\[ay^2 + by + c = 0\]

2. Resolver a Equação do 2º Grau

Agora que temos uma equação do formato \(ay^2 + by + c = 0\), aplicamos a Fórmula de Bhaskara (ou soma e produto) para encontrar os valores de \(y\).

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Isso nos dará duas raízes possíveis para \(y\): chamaremos de \(y_1\) e \(y_2\).

3. Desfazer o "Disfarce" (Voltar para \(x\))

Lembre-se: o problema original pedia o valor de \(x\), não de \(y\). Como definimos lá no início que \(x^2 = y\), precisamos substituir os valores encontrados para achar o \(x\).

Para \(y_1\): \(\quad x^2 = y_1 \implies x = \pm \sqrt{y_1}\)

Para \(y_2\): \(\quad x^2 = y_2 \implies x = \pm \sqrt{y_2}\)

Atenção às regras dos sinais:
• Se \(y\) for positivo, teremos duas raízes reais (uma positiva e uma negativa).
• Se \(y\) for zero, a raiz é \(0\).
• Se \(y\) for negativo, não existirá raiz real para o \(x\), pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

Exemplo Prático

Vamos resolver a equação: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)

1. Substituição: Fazemos \(x^2 = y\). A equação fica:

\[y^2 - 5y + 4 = 0\]

2. Resolvendo para y:
Achando o Delta: \(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)
Aplicando Bhaskara: \(y = \frac{5 \pm 3}{2}\)
Temos \(y_1 = 4\) e \(y_2 = 1\).

3. Voltando para x:
Para \(y_1 = 4\): \(\quad x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)
Para \(y_2 = 1\): \(\quad x^2 = 1 \implies x = \pm 1\)

Conjunto Solução: \(S = \{-2, -1, 1, 2\}\)