[9º Ano] Demonstração/Prova da Fórmula Quadrática (Fórmula de Bháskara)

Demonstração da Fórmula de Bhaskara

Entendendo a lógica por trás da Fórmula Quadrática

Conceito Base: Trinômio Quadrado Perfeito

Para entender a demonstração, precisamos lembrar da expansão do quadrado da soma de dois termos:

\[(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\]

Por que isso ocorre? Pela propriedade distributiva:

\((x + a)(x + a) = x \cdot x + x \cdot a + a \cdot x + a \cdot a\)
\((x + a)^2 = x^2 + ax + ax + a^2 = x^2 + 2ax + a^2\)

Na demonstração abaixo, faremos o caminho inverso: transformaremos uma expressão do tipo \(x^2 + kx\) em um quadrado perfeito somando o termo que falta.

Partimos da equação geral:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

1. Preparação dos termos

Subtraímos \(c\) e dividimos tudo por \(a\):

\[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]

2. Completando o Quadrado

Olhando para nossa base \((x^2 + 2ax + a^2)\), vemos que o termo do meio na nossa equação é \(\frac{b}{a}x\). Portanto, o nosso "\(2a\)" da fórmula base corresponde a \(\frac{b}{a}\).

Para achar o valor a ser somado, pegamos metade de \(\frac{b}{a}\) e elevamos ao quadrado:

\[\text{Termo a somar: } \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}\]

Somamos em ambos os lados:

\[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\]

3. Fatoração e Simplificação

O lado esquerdo agora é exatamente o produto notável que vimos no início. No lado direito, tiramos o MMC:

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\]

Definimos o discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

4. Extração da Raiz

Aplicamos a raiz quadrada nos dois lados:

\[x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \implies x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\]

Fórmula Final

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Onde \(\Delta = b^2 - 4ac\)